3.284 \(\int (a+b x^n) (c+d x^n)^4 \, dx\)

Optimal. Leaf size=132 \[ \frac{c^3 x^{n+1} (4 a d+b c)}{n+1}+\frac{2 c^2 d x^{2 n+1} (3 a d+2 b c)}{2 n+1}+\frac{2 c d^2 x^{3 n+1} (2 a d+3 b c)}{3 n+1}+\frac{d^3 x^{4 n+1} (a d+4 b c)}{4 n+1}+a c^4 x+\frac{b d^4 x^{5 n+1}}{5 n+1} \]

[Out]

a*c^4*x + (c^3*(b*c + 4*a*d)*x^(1 + n))/(1 + n) + (2*c^2*d*(2*b*c + 3*a*d)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (2*c*d^2*(
3*b*c + 2*a*d)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (d^3*(4*b*c + a*d)*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n) + (b*d^4*x^(1 + 5*n))/(1 + 5
*n)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.111141, antiderivative size = 132, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.059, Rules used = {373} \[ \frac{c^3 x^{n+1} (4 a d+b c)}{n+1}+\frac{2 c^2 d x^{2 n+1} (3 a d+2 b c)}{2 n+1}+\frac{2 c d^2 x^{3 n+1} (2 a d+3 b c)}{3 n+1}+\frac{d^3 x^{4 n+1} (a d+4 b c)}{4 n+1}+a c^4 x+\frac{b d^4 x^{5 n+1}}{5 n+1} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^4,x]

[Out]

a*c^4*x + (c^3*(b*c + 4*a*d)*x^(1 + n))/(1 + n) + (2*c^2*d*(2*b*c + 3*a*d)*x^(1 + 2*n))/(1 + 2*n) + (2*c*d^2*(
3*b*c + 2*a*d)*x^(1 + 3*n))/(1 + 3*n) + (d^3*(4*b*c + a*d)*x^(1 + 4*n))/(1 + 4*n) + (b*d^4*x^(1 + 5*n))/(1 + 5
*n)

Rule 373

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n
)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \left (a+b x^n\right ) \left (c+d x^n\right )^4 \, dx &=\int \left (a c^4+c^3 (b c+4 a d) x^n+2 c^2 d (2 b c+3 a d) x^{2 n}+2 c d^2 (3 b c+2 a d) x^{3 n}+d^3 (4 b c+a d) x^{4 n}+b d^4 x^{5 n}\right ) \, dx\\ &=a c^4 x+\frac{c^3 (b c+4 a d) x^{1+n}}{1+n}+\frac{2 c^2 d (2 b c+3 a d) x^{1+2 n}}{1+2 n}+\frac{2 c d^2 (3 b c+2 a d) x^{1+3 n}}{1+3 n}+\frac{d^3 (4 b c+a d) x^{1+4 n}}{1+4 n}+\frac{b d^4 x^{1+5 n}}{1+5 n}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.147514, size = 110, normalized size = 0.83 \[ \frac{b x \left (c+d x^n\right )^5-x \left (\frac{6 c^2 d^2 x^{2 n}}{2 n+1}+\frac{4 c^3 d x^n}{n+1}+c^4+\frac{4 c d^3 x^{3 n}}{3 n+1}+\frac{d^4 x^{4 n}}{4 n+1}\right ) (b c-a d (5 n+1))}{5 d n+d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*x^n)*(c + d*x^n)^4,x]

[Out]

(b*x*(c + d*x^n)^5 - (b*c - a*d*(1 + 5*n))*x*(c^4 + (4*c^3*d*x^n)/(1 + n) + (6*c^2*d^2*x^(2*n))/(1 + 2*n) + (4
*c*d^3*x^(3*n))/(1 + 3*n) + (d^4*x^(4*n))/(1 + 4*n)))/(d + 5*d*n)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.059, size = 138, normalized size = 1.1 \begin{align*} a{c}^{4}x+{\frac{b{d}^{4}x \left ({{\rm e}^{n\ln \left ( x \right ) }} \right ) ^{5}}{1+5\,n}}+{\frac{{c}^{3} \left ( 4\,ad+bc \right ) x{{\rm e}^{n\ln \left ( x \right ) }}}{1+n}}+{\frac{{d}^{3} \left ( ad+4\,bc \right ) x \left ({{\rm e}^{n\ln \left ( x \right ) }} \right ) ^{4}}{1+4\,n}}+2\,{\frac{c{d}^{2} \left ( 2\,ad+3\,bc \right ) x \left ({{\rm e}^{n\ln \left ( x \right ) }} \right ) ^{3}}{1+3\,n}}+2\,{\frac{{c}^{2}d \left ( 3\,ad+2\,bc \right ) x \left ({{\rm e}^{n\ln \left ( x \right ) }} \right ) ^{2}}{1+2\,n}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*x^n)*(c+d*x^n)^4,x)

[Out]

a*c^4*x+b*d^4/(1+5*n)*x*exp(n*ln(x))^5+c^3*(4*a*d+b*c)/(1+n)*x*exp(n*ln(x))+d^3*(a*d+4*b*c)/(1+4*n)*x*exp(n*ln
(x))^4+2*c*d^2*(2*a*d+3*b*c)/(1+3*n)*x*exp(n*ln(x))^3+2*c^2*d*(3*a*d+2*b*c)/(1+2*n)*x*exp(n*ln(x))^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*x^n)*(c+d*x^n)^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.64474, size = 1166, normalized size = 8.83 \begin{align*} \frac{{\left (24 \, b d^{4} n^{4} + 50 \, b d^{4} n^{3} + 35 \, b d^{4} n^{2} + 10 \, b d^{4} n + b d^{4}\right )} x x^{5 \, n} +{\left (4 \, b c d^{3} + a d^{4} + 30 \,{\left (4 \, b c d^{3} + a d^{4}\right )} n^{4} + 61 \,{\left (4 \, b c d^{3} + a d^{4}\right )} n^{3} + 41 \,{\left (4 \, b c d^{3} + a d^{4}\right )} n^{2} + 11 \,{\left (4 \, b c d^{3} + a d^{4}\right )} n\right )} x x^{4 \, n} + 2 \,{\left (3 \, b c^{2} d^{2} + 2 \, a c d^{3} + 40 \,{\left (3 \, b c^{2} d^{2} + 2 \, a c d^{3}\right )} n^{4} + 78 \,{\left (3 \, b c^{2} d^{2} + 2 \, a c d^{3}\right )} n^{3} + 49 \,{\left (3 \, b c^{2} d^{2} + 2 \, a c d^{3}\right )} n^{2} + 12 \,{\left (3 \, b c^{2} d^{2} + 2 \, a c d^{3}\right )} n\right )} x x^{3 \, n} + 2 \,{\left (2 \, b c^{3} d + 3 \, a c^{2} d^{2} + 60 \,{\left (2 \, b c^{3} d + 3 \, a c^{2} d^{2}\right )} n^{4} + 107 \,{\left (2 \, b c^{3} d + 3 \, a c^{2} d^{2}\right )} n^{3} + 59 \,{\left (2 \, b c^{3} d + 3 \, a c^{2} d^{2}\right )} n^{2} + 13 \,{\left (2 \, b c^{3} d + 3 \, a c^{2} d^{2}\right )} n\right )} x x^{2 \, n} +{\left (b c^{4} + 4 \, a c^{3} d + 120 \,{\left (b c^{4} + 4 \, a c^{3} d\right )} n^{4} + 154 \,{\left (b c^{4} + 4 \, a c^{3} d\right )} n^{3} + 71 \,{\left (b c^{4} + 4 \, a c^{3} d\right )} n^{2} + 14 \,{\left (b c^{4} + 4 \, a c^{3} d\right )} n\right )} x x^{n} +{\left (120 \, a c^{4} n^{5} + 274 \, a c^{4} n^{4} + 225 \, a c^{4} n^{3} + 85 \, a c^{4} n^{2} + 15 \, a c^{4} n + a c^{4}\right )} x}{120 \, n^{5} + 274 \, n^{4} + 225 \, n^{3} + 85 \, n^{2} + 15 \, n + 1} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*x^n)*(c+d*x^n)^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

((24*b*d^4*n^4 + 50*b*d^4*n^3 + 35*b*d^4*n^2 + 10*b*d^4*n + b*d^4)*x*x^(5*n) + (4*b*c*d^3 + a*d^4 + 30*(4*b*c*
d^3 + a*d^4)*n^4 + 61*(4*b*c*d^3 + a*d^4)*n^3 + 41*(4*b*c*d^3 + a*d^4)*n^2 + 11*(4*b*c*d^3 + a*d^4)*n)*x*x^(4*
n) + 2*(3*b*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3 + 40*(3*b*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)*n^4 + 78*(3*b*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)*n^3 + 49*(3*
b*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)*n^2 + 12*(3*b*c^2*d^2 + 2*a*c*d^3)*n)*x*x^(3*n) + 2*(2*b*c^3*d + 3*a*c^2*d^2 + 60*(2*b*
c^3*d + 3*a*c^2*d^2)*n^4 + 107*(2*b*c^3*d + 3*a*c^2*d^2)*n^3 + 59*(2*b*c^3*d + 3*a*c^2*d^2)*n^2 + 13*(2*b*c^3*
d + 3*a*c^2*d^2)*n)*x*x^(2*n) + (b*c^4 + 4*a*c^3*d + 120*(b*c^4 + 4*a*c^3*d)*n^4 + 154*(b*c^4 + 4*a*c^3*d)*n^3
+ 71*(b*c^4 + 4*a*c^3*d)*n^2 + 14*(b*c^4 + 4*a*c^3*d)*n)*x*x^n + (120*a*c^4*n^5 + 274*a*c^4*n^4 + 225*a*c^4*n
^3 + 85*a*c^4*n^2 + 15*a*c^4*n + a*c^4)*x)/(120*n^5 + 274*n^4 + 225*n^3 + 85*n^2 + 15*n + 1)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 3.27936, size = 2744, normalized size = 20.79 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*x**n)*(c+d*x**n)**4,x)

[Out]

Piecewise((a*c**4*x + 4*a*c**3*d*log(x) - 6*a*c**2*d**2/x - 2*a*c*d**3/x**2 - a*d**4/(3*x**3) + b*c**4*log(x)
- 4*b*c**3*d/x - 3*b*c**2*d**2/x**2 - 4*b*c*d**3/(3*x**3) - b*d**4/(4*x**4), Eq(n, -1)), (a*c**4*x + 8*a*c**3*
d*sqrt(x) + 6*a*c**2*d**2*log(x) - 8*a*c*d**3/sqrt(x) - a*d**4/x + 2*b*c**4*sqrt(x) + 4*b*c**3*d*log(x) - 12*b
*c**2*d**2/sqrt(x) - 4*b*c*d**3/x - 2*b*d**4/(3*x**(3/2)), Eq(n, -1/2)), (a*c**4*x + 6*a*c**3*d*x**(2/3) + 18*
a*c**2*d**2*x**(1/3) + 4*a*c*d**3*log(x) - 3*a*d**4/x**(1/3) + 3*b*c**4*x**(2/3)/2 + 12*b*c**3*d*x**(1/3) + 6*
b*c**2*d**2*log(x) - 12*b*c*d**3/x**(1/3) - 3*b*d**4/(2*x**(2/3)), Eq(n, -1/3)), (a*c**4*x + 16*a*c**3*d*x**(3
/4)/3 + 12*a*c**2*d**2*sqrt(x) + 16*a*c*d**3*x**(1/4) + a*d**4*log(x) + 4*b*c**4*x**(3/4)/3 + 8*b*c**3*d*sqrt(
x) + 24*b*c**2*d**2*x**(1/4) + 4*b*c*d**3*log(x) - 4*b*d**4/x**(1/4), Eq(n, -1/4)), (a*c**4*x + 5*a*c**3*d*x**
(4/5) + 10*a*c**2*d**2*x**(3/5) + 10*a*c*d**3*x**(2/5) + 5*a*d**4*x**(1/5) + 5*b*c**4*x**(4/5)/4 + 20*b*c**3*d
*x**(3/5)/3 + 15*b*c**2*d**2*x**(2/5) + 20*b*c*d**3*x**(1/5) + b*d**4*log(x), Eq(n, -1/5)), (120*a*c**4*n**5*x
/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 274*a*c**4*n**4*x/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 8
5*n**2 + 15*n + 1) + 225*a*c**4*n**3*x/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 85*a*c**4*n**2*
x/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 15*a*c**4*n*x/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n
**2 + 15*n + 1) + a*c**4*x/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 480*a*c**3*d*n**4*x*x**n/(1
20*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 616*a*c**3*d*n**3*x*x**n/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3
+ 85*n**2 + 15*n + 1) + 284*a*c**3*d*n**2*x*x**n/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 56*a
*c**3*d*n*x*x**n/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 4*a*c**3*d*x*x**n/(120*n**5 + 274*n**
4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 360*a*c**2*d**2*n**4*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2
+ 15*n + 1) + 642*a*c**2*d**2*n**3*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 354*a*c
**2*d**2*n**2*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 78*a*c**2*d**2*n*x*x**(2*n)/(
120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 6*a*c**2*d**2*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**
3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 160*a*c*d**3*n**4*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) +
312*a*c*d**3*n**3*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 196*a*c*d**3*n**2*x*x**(
3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 48*a*c*d**3*n*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 2
25*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 4*a*c*d**3*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) +
30*a*d**4*n**4*x*x**(4*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 61*a*d**4*n**3*x*x**(4*n)/(1
20*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 41*a*d**4*n**2*x*x**(4*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**
3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 11*a*d**4*n*x*x**(4*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + a*d**
4*x*x**(4*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 120*b*c**4*n**4*x*x**n/(120*n**5 + 274*n*
*4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 154*b*c**4*n**3*x*x**n/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n
+ 1) + 71*b*c**4*n**2*x*x**n/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 14*b*c**4*n*x*x**n/(120*n
**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + b*c**4*x*x**n/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15
*n + 1) + 240*b*c**3*d*n**4*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 428*b*c**3*d*n*
*3*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 236*b*c**3*d*n**2*x*x**(2*n)/(120*n**5 +
274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 52*b*c**3*d*n*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**
2 + 15*n + 1) + 4*b*c**3*d*x*x**(2*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 240*b*c**2*d**2*
n**4*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 468*b*c**2*d**2*n**3*x*x**(3*n)/(120*n
**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 294*b*c**2*d**2*n**2*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n
**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 72*b*c**2*d**2*n*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1)
+ 6*b*c**2*d**2*x*x**(3*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 120*b*c*d**3*n**4*x*x**(4*n
)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 244*b*c*d**3*n**3*x*x**(4*n)/(120*n**5 + 274*n**4 +
225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 164*b*c*d**3*n**2*x*x**(4*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n
+ 1) + 44*b*c*d**3*n*x*x**(4*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 4*b*c*d**3*x*x**(4*n)
/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 24*b*d**4*n**4*x*x**(5*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*
n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 50*b*d**4*n**3*x*x**(5*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) +
35*b*d**4*n**2*x*x**(5*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + 10*b*d**4*n*x*x**(5*n)/(120
*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**2 + 15*n + 1) + b*d**4*x*x**(5*n)/(120*n**5 + 274*n**4 + 225*n**3 + 85*n**
2 + 15*n + 1), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.15031, size = 999, normalized size = 7.57 \begin{align*} \frac{120 \, a c^{4} n^{5} x + 24 \, b d^{4} n^{4} x x^{5 \, n} + 120 \, b c d^{3} n^{4} x x^{4 \, n} + 30 \, a d^{4} n^{4} x x^{4 \, n} + 240 \, b c^{2} d^{2} n^{4} x x^{3 \, n} + 160 \, a c d^{3} n^{4} x x^{3 \, n} + 240 \, b c^{3} d n^{4} x x^{2 \, n} + 360 \, a c^{2} d^{2} n^{4} x x^{2 \, n} + 120 \, b c^{4} n^{4} x x^{n} + 480 \, a c^{3} d n^{4} x x^{n} + 274 \, a c^{4} n^{4} x + 50 \, b d^{4} n^{3} x x^{5 \, n} + 244 \, b c d^{3} n^{3} x x^{4 \, n} + 61 \, a d^{4} n^{3} x x^{4 \, n} + 468 \, b c^{2} d^{2} n^{3} x x^{3 \, n} + 312 \, a c d^{3} n^{3} x x^{3 \, n} + 428 \, b c^{3} d n^{3} x x^{2 \, n} + 642 \, a c^{2} d^{2} n^{3} x x^{2 \, n} + 154 \, b c^{4} n^{3} x x^{n} + 616 \, a c^{3} d n^{3} x x^{n} + 225 \, a c^{4} n^{3} x + 35 \, b d^{4} n^{2} x x^{5 \, n} + 164 \, b c d^{3} n^{2} x x^{4 \, n} + 41 \, a d^{4} n^{2} x x^{4 \, n} + 294 \, b c^{2} d^{2} n^{2} x x^{3 \, n} + 196 \, a c d^{3} n^{2} x x^{3 \, n} + 236 \, b c^{3} d n^{2} x x^{2 \, n} + 354 \, a c^{2} d^{2} n^{2} x x^{2 \, n} + 71 \, b c^{4} n^{2} x x^{n} + 284 \, a c^{3} d n^{2} x x^{n} + 85 \, a c^{4} n^{2} x + 10 \, b d^{4} n x x^{5 \, n} + 44 \, b c d^{3} n x x^{4 \, n} + 11 \, a d^{4} n x x^{4 \, n} + 72 \, b c^{2} d^{2} n x x^{3 \, n} + 48 \, a c d^{3} n x x^{3 \, n} + 52 \, b c^{3} d n x x^{2 \, n} + 78 \, a c^{2} d^{2} n x x^{2 \, n} + 14 \, b c^{4} n x x^{n} + 56 \, a c^{3} d n x x^{n} + 15 \, a c^{4} n x + b d^{4} x x^{5 \, n} + 4 \, b c d^{3} x x^{4 \, n} + a d^{4} x x^{4 \, n} + 6 \, b c^{2} d^{2} x x^{3 \, n} + 4 \, a c d^{3} x x^{3 \, n} + 4 \, b c^{3} d x x^{2 \, n} + 6 \, a c^{2} d^{2} x x^{2 \, n} + b c^{4} x x^{n} + 4 \, a c^{3} d x x^{n} + a c^{4} x}{120 \, n^{5} + 274 \, n^{4} + 225 \, n^{3} + 85 \, n^{2} + 15 \, n + 1} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*x^n)*(c+d*x^n)^4,x, algorithm="giac")

[Out]

(120*a*c^4*n^5*x + 24*b*d^4*n^4*x*x^(5*n) + 120*b*c*d^3*n^4*x*x^(4*n) + 30*a*d^4*n^4*x*x^(4*n) + 240*b*c^2*d^2
*n^4*x*x^(3*n) + 160*a*c*d^3*n^4*x*x^(3*n) + 240*b*c^3*d*n^4*x*x^(2*n) + 360*a*c^2*d^2*n^4*x*x^(2*n) + 120*b*c
^4*n^4*x*x^n + 480*a*c^3*d*n^4*x*x^n + 274*a*c^4*n^4*x + 50*b*d^4*n^3*x*x^(5*n) + 244*b*c*d^3*n^3*x*x^(4*n) +
61*a*d^4*n^3*x*x^(4*n) + 468*b*c^2*d^2*n^3*x*x^(3*n) + 312*a*c*d^3*n^3*x*x^(3*n) + 428*b*c^3*d*n^3*x*x^(2*n) +
642*a*c^2*d^2*n^3*x*x^(2*n) + 154*b*c^4*n^3*x*x^n + 616*a*c^3*d*n^3*x*x^n + 225*a*c^4*n^3*x + 35*b*d^4*n^2*x*
x^(5*n) + 164*b*c*d^3*n^2*x*x^(4*n) + 41*a*d^4*n^2*x*x^(4*n) + 294*b*c^2*d^2*n^2*x*x^(3*n) + 196*a*c*d^3*n^2*x
*x^(3*n) + 236*b*c^3*d*n^2*x*x^(2*n) + 354*a*c^2*d^2*n^2*x*x^(2*n) + 71*b*c^4*n^2*x*x^n + 284*a*c^3*d*n^2*x*x^
n + 85*a*c^4*n^2*x + 10*b*d^4*n*x*x^(5*n) + 44*b*c*d^3*n*x*x^(4*n) + 11*a*d^4*n*x*x^(4*n) + 72*b*c^2*d^2*n*x*x
^(3*n) + 48*a*c*d^3*n*x*x^(3*n) + 52*b*c^3*d*n*x*x^(2*n) + 78*a*c^2*d^2*n*x*x^(2*n) + 14*b*c^4*n*x*x^n + 56*a*
c^3*d*n*x*x^n + 15*a*c^4*n*x + b*d^4*x*x^(5*n) + 4*b*c*d^3*x*x^(4*n) + a*d^4*x*x^(4*n) + 6*b*c^2*d^2*x*x^(3*n)
+ 4*a*c*d^3*x*x^(3*n) + 4*b*c^3*d*x*x^(2*n) + 6*a*c^2*d^2*x*x^(2*n) + b*c^4*x*x^n + 4*a*c^3*d*x*x^n + a*c^4*x
)/(120*n^5 + 274*n^4 + 225*n^3 + 85*n^2 + 15*n + 1)